Для заряженного тела или заряженной системы вводят параметр, характеризующий способность тела накапливать заряд, — электроёмкость. Стандартное обозначение — , единица измерения — = Ф (Фарад). Электроёмкость численно равна отношению заряда тела/системы к потенциалу этого тела/системы. Для неизменной системы данный параметр является постоянным.
Рассчитаем в качестве примера электроёмкость шара радиуса .
Исходя из рассмотренного ранее потенциала шара:
- где
— диэлектрическая проницаемость среды (параметр, характеризующий способность среды проводить электрическое поле). Данный параметр является табличным.
— электрическая постоянная (
- — заряд шара,
- — радиус шара.
Подставим (2) в (1):
Формула (3) представляет собой математический способ нахождения электроёмкости проводящего шара.
Ещё одной системой, в которой можно достаточно просто рассчитать электроёмкость, является плоский конденсатор. Для расчёта электроёмкости такой системы воспользуемся (1), знаниями о связи напряжённости электростатического поля и потенциала электростатического поля (4) и напряжённостью электростатического поля между двумя параллельными пластинами (5).
- где
- — напряжённость электростатического поля,
- — расстояние между взаимодействующими телами.
- где
- — заряд пластины (обкладки конденсатора),
- — площадь пластин конденсатора.
Выражение (6) является соотношением для поиска электроёмкости плоского конденсатора.
Вывод: Таким образом, задачи на поиск электроёмкости системы сводятся или к определению электроёмкости (1), или к рассмотрению конкретной системы: шар (3), плоский конденсатор (6).
Конденсатор – это совокупность двух любых проводников, заряды которых одинаковы по значению и противоположны по знаку.
Его конфигурация говорит о том, что поле, созданное зарядами, локализовано между обкладками. Тогда можно записать формулу электроемкости конденсатора:
C = q φ 1 – φ 2 = q U .
Значением φ 1 – φ 2 = U обозначают разность потенциалов, называемую напряжением, то есть U . По определению емкость положительна. Она зависит только от размерностей обкладок конденсатора их взаиморасположения и диэлектрика. Ее форма и место должны минимизировать воздействие внешнего поля на внутреннее. Силовые линии конденсатора начинаются на проводнике с положительным зарядом, а заканчиваются с отрицательным. Конденсатор может являться проводником, помещенным в полость, окруженным замкнутой оболочкой.
Выделяют три большие группы: плоские, сферические, цилиндрические. Чтобы найти емкость, необходимо обратиться к определению напряжения конденсатора с известными значениями зарядов на обкладках.
Плоский конденсатор
Плоский конденсатор – это две противоположно заряженные пластины, которые разделены тонким слоем диэлектрика, как показано на рисунке 1 .
Формула для расчета электроемкости записывается как
C = ε ε 0 S d , где S является площадью обкладки, d – расстоянием между ними, ε – диэлектрической проницаемостью вещества. Меньшее значение d способствует большему совпадению расчетной емкости конденсатора с реальной.
При известной электроемкости конденсатора, заполненного N слоями диэлектрика, толщина слоя с номером i равняется d i , вычисление диэлектрической проницаемости этого слоя ε i выполняется, исходя из формулы:
C = ε 0 S d 1 ε 1 + d 2 ε 2 + . . . + d N ε N .
Сферический конденсатор
Когда проводник имеет форму шара или сферы, тогда внешняя замкнутая оболочка является концентрической сферой, это означает, что конденсатор сферический.
Он состоит из двух концентрических проводящих сферических поверхностей с пространством между обкладками, заполненным диэлектриком, как показано на рисунке 2 . Емкость рассчитывается по формуле:
C = 4 π ε ε 0 R 1 R 2 R 2 – R 1 , где R 1 и R 2 являются радиусами обкладок.
Цилиндрический конденсатор
Емкость цилиндрического конденсатора равняется:
C = 2 πεε 0 l ln R 2 R 1 , где l – высота цилиндров, R 1 и R 2 – радиусы обкладок. Данный вид конденсатора имеет две соосные поверхности проводящих цилиндрических поверхности, как показано на рисунке 3 .
Важной характеристикой конденсаторов считается пробивное напряжение – напряжение, при котором происходит электрический разряд через слой диэлектрика.
U m a x находится от зависимости от толщины слоя и свойств диэлектрика, конфигурации конденсатора.
Электроемкость плоского конденсатора. Формулы
Кроме отдельных конденсаторов используются их соединения. Наличие параллельного соединения конденсаторов применяют для увеличения его емкости. Тогда поиск результирующей емкости соединения сводится к записи суммы C i , где C i – это емкость конденсатора с номером i :
При последовательном соединении конденсаторов суммарная емкость соединения всегда будет по значению меньше, чем минимальная любого конденсатора, входящего в систему. Для расчета результирующей емкости следует сложить величины, обратные к емкостям отдельных конденсаторов:
Произвести вычисление емкости плоского конденсатора при известной площади обкладок
1 с м 2 с расстоянием между ними 1 м м . Пространство между обкладками находится в вакууме.
Решение
Чтобы рассчитать электроемкость конденсатора, применяется формула:
ε = 1 , ε 0 = 8 , 85 · 10 – 12 Ф м ; S = 1 с м 2 = 10 – 4 м 2 ; d = 1 м м = 10 – 3 м .
Подставим числовые выражения и вычислим:
C = 8 , 85 · 10 – 12 · 10 – 4 10 – 3 = 8 , 85 · 10 – 13 ( Ф ) .
Ответ: C ≈ 0 , 9 п Ф .
Найти напряженность электростатического поля у сферического конденсатора на расстоянии x = 1 с м = 10 – 2 м от поверхности внутренней обкладки при внутреннем радиусе обкладки, равном R 1 = 1 с м = 10 – 2 м , внешнем – R 2 = 3 с м = 3 · 10 – 2 м . Значение напряжения – 10 3 В .
Решение
Производящая заряженная сфера создает напряженность поля. Его значение вычисляется по формуле:
E = 1 4 π ε ε 0 q r 2 , где q обозначают заряд внутренней сферы, r = R 1 + x – расстояние от центра сферы.
Нахождение заряда предполагает применение определения емкости конденсатора С:
Для сферического конденсатора предусмотрена формула вида
C = 4 π ε ε 0 R 1 R 2 R 2 – R 1 с радиусами обкладок R 1 и R 2 .
Производим подстановку выражений для получения искомой напряженности:
E = 1 4 πεε 0 U ( x + R 1 ) 2 4 πεε 0 R 1 R 2 R 2 – R 1 = U ( x + R 1 ) 2 R 1 R 2 R 2 – R 1 .
Данные представлены в системе С И , поэтому достаточно заменить буквы числовыми выражениями:
E = 10 3 ( 1 + 1 ) 2 · 10 – 4 · 10 – 2 · 3 · 10 – 2 3 · 10 – 2 – 10 – 2 = 3 · 10 – 1 8 · 10 – 6 = 3 , 45 · 10 4 В м .
Ответ: E = 3 , 45 · 10 4 В м .
Что такое электроемкость проводников
Если у нас есть два проводника, изолированных друг от друга, которым мы сообщаем некоторые заряды (обозначим их соответственно q 1 и q 2 ), то между ними возникнет определенная разность потенциалов. Ее величина будет зависеть от формы проводников, а также от исходных величин зарядов. Обозначим такую разность Δ φ . Если мы говорим о разности, возникающей в электрическом поле между двумя точками, то ее обычно обозначают U .
В рамках темы данной статьи нам больше всего интересна такая разность потенциалов между проводниками, когда их заряды противоположны по знаку, но равны друг другу по модулю. В таком случае мы можем ввести новое понятие – электрическая емкость (электроемкость).
Электрической емкостью системы, состоящей из двух проводников, называется отношение заряда одного проводника ( q ) к разности потенциалов между этими двумя проводниками.
В виде формулы это записывается так: C = q ∆ φ = q U .
Для измерения электрической емкости применяется единица, называемая фарад. Она обозначается буквой Ф .
Конфигурации и размеры проводников, а также свойства диэлектрика определяют величину электроемкости заданной системы. Наибольший интерес для нас представляют проводники особой формы, называемые конденсаторами.
Конденсатор – это проводник, конфигурация которого позволяет локализовать (сосредотачивать) электрическое поле в одной выделенной части пространства. Проводники, составляющие конденсатор, называются обкладками.
Если мы возьмем две плоские пластины из проводящего материала, расположим их на небольшом расстоянии друг от друга и проложим между ними слой диэлектрика, то мы получим простейший конденсатор, называемый плоским. При его работе электрическое поле будет располагаться преимущественно в промежутке между пластинами, но небольшая часть этого поля будет рассеиваться вокруг них.
Часть электрического поля вблизи конденсатора называется полем рассеяния.
Иногда в задачах мы можем не учитывать его и работать только с той частью электрического поля, которое расположено между обкладками. Однако пренебрегать полем рассеяния допустимо далеко не всегда, поскольку это может привести к ошибочным расчетам из-за нарушения потенциального характера электрического поля.
Рисунок 1 . 6 . 1 . Электрическое поле в плоском конденсаторе.
Рисунок 1 . 6 . 2 . Электрическое поле конденсатора без учета поля рассеяния, не обладающее потенциальностью.
Модуль напряженности электрического поля, которое создает каждая обкладка в плоском конденсаторе, выражается соотношением следующего вида:
Исходя из принципа суперпозиции, можно утверждать, что напряженность E → поля, которое создают обе пластины конденсатора, будет равна сумме напряженностей E + → и E – → полей каждой пластины, то есть E → = E + → + E – → .
Векторы напряженностей обеих пластин во внутренней части конденсатора будут параллельны друг другу. Значит, мы можем выразить модуль напряженности их суммарного поля в виде формулы E = 2 E 1 = σ ε 0 .
Как рассчитать электроемкость конденсатора
Вне пластин векторы напряженности будут направлены в противоположные друг от друга стороны, значит, E будет равно нулю. Если мы обозначим заряд каждой обкладки как q , а ее площадь как S , то соотношение q S даст нам представление о поверхностной плотности. Умножив E на расстояние между обкладками ( d ) , мы получим разность потенциалов между пластинами в однородном электрическом поле. Теперь возьмем оба этих соотношения и выведем из них формулу, по которой может быть рассчитана электрическая емкость конденсатора.
C = q ∆ φ = σ · S E · d = ε 0 S d .
Электрическая емкость плоского конденсатора – величина, обратно пропорциональная расстоянию между обкладками и прямо пропорциональная их площади.
Заполнение пространства между проводниками диэлектрическим материалом может увеличить электроемкость плоского конденсатора в число раз, кратное undefined.
Введем обозначение емкости в виде буквы С и запишем это в виде формулы:
Данная формула называется формулой электроемкости плоского конденсатора.
Конденсаторы бывают не только плоскими. Возможны и другие конфигурации, также обладающие специфическими свойствами.
Сферическим конденсатором называется система из 2 -х концентрических сфер, сделанных из проводящего материала, радиусы которых равны R 1 и R 2 соответственно.
Цилиндрическим конденсатором называется системы из двух проводников цилиндрической формы, длина которых равна L , а радиусы R 1 и R 2 .
Обозначим проницаемость диэлектрического материала как ε и запишем формулы, по которым можно найти электрическую емкость конденсаторов:
- C = 4 πε 0 ε R 1 R 2 R 2 – R 1 (сферический конденсатор),
- C = 2 π ε 0 ε L ln R 2 R 1 (цилиндрический конденсатор).
Как рассчитать электроемкость батареи конденсаторов
Если мы соединим несколько проводников между собой, то мы получим конструкцию, называемую батареей.
Способы соединения могут быть разными. Если соединение будет параллельным, то напряжение всех конденсаторов в системе будет одинаково: U 1 = U 2 = U , а заряды можно найти по формулам q 1 = С 1 U и q 2 = C 2 U . При таком соединении вся система может считаться одним конденсатором, электроемкость которого равна C , заряд – q = q 1 + q 2 , а напряжение – U . В виде формулы это выглядит так:
С = q 1 + q 2 U или C = C 1 + C 2
Если в батарее конденсаторов элементы соединены параллельно, то для нахождения общей электроемкости нам нужно сложить емкости ее отдельных элементов.
Рисунок 1 . 6 . 3 . Конденсаторы, соединенные параллельно. C = C 1 + C 2
Рисунок 1 . 6 . 4 . Конденсаторы, соединенные последовательно: 1 C = 1 C 1 + 1 C 2
Если же батарея состоит из двух последовательно соединенных конденсаторов, то заряды обоих будут одинаковы: q 1 = q 2 = q . Найти их напряжения можно так: U 1 = q C 1 и U 2 = q C 2 . Такую систему тоже можно считать одним конденсатором, заряд которого равен q , а напряжение U = U 1 + U 2 .
C = q U 1 + U 2 или 1 C = 1 C 1 + 1 C 2
Если конденсаторы в батарее соединены последовательно, то для нахождения общей электроемкости нам нужно сложить величины, обратные емкостям каждого из них.
Справедливость обеих формул, приведенных выше, не зависит от количества конденсаторов в батарее.
Рисунок 1 . 6 . 5 . Смоделированное электрическое поле плоского конденсатора.